· Gödel y Lacan (Segunda parte)
· Gödel y Lacan (Primera parte)
· Nuestro mito familiar
· Narrativa argentina hoy
· Sobre Infierno grande
· Mythology and cliché in...
· Mitología y cliché en las discusiones lit
· La vida doble y triple de Lewis Carroll
· Encuesta Ñ de literatura argentina
· Leyes (y transgresiones)...
· Para una biografía de Funes
· Prólogo para El punto de vista
· Acerca de "Acerca de Roderer"
· Presentación de Samanta Schweblin
· Lo verdadero y lo demostrable
· Qué leen los que escriben
· Una sala de espera
· Los días contados
· Arte de magia I. Roberto Mansilla
· Arte de magia II. Federico Ludueña
· Literatura argentina (El Cultural)
· El lector y sus criterios
· Un plan a futuro
· Sobre la mesa de luz
· Sobre el robo de libros
· Sobre Seinfeld
· Una pasión privada
· Sobre Philip Roth
· Literatura y cine
· Confesionario
· Borges todavía
· Diecisiete líneas sobre Truman Capote
· El héroe que espera
· El Golem
· Un ejercicio de esgrima
· Los juicios del tiempo
· Sobre el pequeño Larousse
· Sobre los premios
· La feria del libro y yo
· El experimento de la conciencia
· El amor correspondido y el experimento...
· La serie de los actos, la serie de los libros
· Borges y la matemática
· Los gemelos pitagóricos
· Borges y tres paradojas matemáticas
· Statement September 11
· Soluciones y desilusiones
· Sobre el 11 de septiembre
· Reality and fiction
· Elogio de la dificultad
· Un margen demasiado exiguo
· Un regreso a El Aleph
· La ley del deseo
· Un Dios pequeño, pequeño
· La música del azar (Entrevista a Chaitin)
· Lo que repito tres veces
· Los robos gentiles
· Una secta afortunada
· El cuento como sistema lógico
· Literatura y racionalidad
· Consideraciones de un ex político

En mayo de 2003 me tocó reseñar para La Nación el libro El hombre que confundió a su mujer con un sombrero, de Oliver Sacks (Ed. Anagrama). Dentro de ese conjunto extraordinario de relatos clínicos uno de los más asombrosos, para cualquier matemático, es “Los Gemelos”, que revela una fuente de evidencia insospechada, “biológica”, o más precisamente “neurofisiológica”, para la formulación de una pregunta crítica y todavía no resuelta en la historia de las matemáticas sobre los números primos. En estado de “conmoción gnoseológica” escribí un mail general a los matemáticos de la Facultad de Ciencias Exactas, en donde extracté las observaciones principales de Sacks y al que agregué al final, algo temerariamente, un par de conjeturas, con el propósito, sobre todo, de escuchar otras más acertadas. Por los felices designios del comando forward el mail se propagó a otras universidades del mundo y recibí muchísimas respuestas, de las que transcribo algunas al final.

   Los Gemelos habían sido diagnosticados diversamente como autistas, psicóticos o gravemente retardados. En el año 1966, cuando Sacks empieza a observarlos, la mayoría de los informes llegaban a la conclusión de que, como sucede con los “sabios idiotas”, no había nada especial en ellos, salvo su notable memoria documental para recordar los detalles visuales más nimios de su propia existencia, y el uso del algoritmo calendárico inconsciente que los llevó a la televisión, y que les permitía decir inmediatamente en qué día de la semana caía una fecha del futuro o el pasado lejanos.

   “La realidad”, dice Sacks, “es mucho más extraña, mucho más compleja de lo que sugiere cualquiera de esos estudios, pero hay que dejar a un lado el ansia de delimitar y demostrar y llegar a conocerlos, observarlos, sincera, tranquilamente, con una imparcialidad fenomenológica plena y comprensiva.”

  Transcribo en glosas su descripción de naturalista:

“Los Gemelos piden que se les de una fecha cualquiera de los cuarenta mil años futuros y casi instantáneamente determinan a qué día de la semana corresponde. Se puede apreciar, aunque no suele mencionarse en los informes, que mueven los ojos y los fijan de un modo peculiar cuando hacen esto... como si estuvieran desplegando, o escudriñando, un paisaje interior, un calendario mental. Es una expresión de visualización intensa, aunque se ha creído que lo que hacen es un puro cálculo. La memoria que tienen para los números es excepcional. Repiten un número de tres, de  treinta, o de trescientas cifras, con la misma facilidad. Esto se ha atribuido también a un método.

   Pero cuando uno pasa a examinar su capacidad de cálculo (el plato fuerte típico de los calculistas y prodigios aritméticos), resulta que lo hacen asombrosamente mal, tan mal como podría esperarse de su coeficiente intelectual de sesenta. No son capaces de hacer sumas y restas simples, y ni siquiera pueden entender qué significa la multiplicación y la división.

   Se ha deducido y aceptado, sin ninguna base prácticamente, que lo que opera no es en modo alguno la memoria, sino que hay un algoritmo inconsciente que es el que se utiliza para los cálculos calendáricos. Steven Smith, en su obra The Great Mental Calculators (1983), comenta: “Opera aquí algo intrigante aunque corriente: la misteriosa capacidad humana para formar algoritmos inconscientes basándose en ejemplos.”

    Si éste fuese el principio y fin del asunto, podría en realidad considerarse algo ordinario, sin el menor misterio, pues el cálculo de algoritmos, que puede realizarse perfectamente mediante una máquina, es en el fondo mecánico y pertenece a la esfera de los “problemas”, pero no de los “misterios”.

   Y sin embargo, hay en sus “trucos” una cualidad que sorprende. Pueden detallar el tiempo meteorológico y los acontecimientos de cualquier día de sus vidas... cualquier día, a partir, aproximadamente, de los cuatro años de edad.  Su forma de hablar es infantil, detallada, sin emoción. Se les da una fecha, giran los ojos un momento y luego los fijan y con una voz lisa y monótona cuentan qué tiempo hizo, los acontecimientos políticos de los que hubiesen oído hablar, y los hechos de sus propias vidas... que suele incluir la angustia dolorosa y conmovedora de la infancia, el desprecio, las burlas, las aflicciones que soportaban, pero todo expuesto en un tono invariable, sin un ápice de emoción o inflexión personal.

   Lo que hay que subrayar es la magnitud de la memoria de los Gemelos, su amplitud aparentemente ilimitada. Si se les pregunta cómo pueden retener tanto en la cabeza (un número de trescientas cifras, o el trillón de acontecimientos de cuatro décadas) ellos dicen con toda sencillez: “Lo vemos”. Ese visualizar  de extraordinaria inmensidad y de fidelidad perfecta parece ser la clave de todo el asunto, una capacidad fisiológica innata de su inteligencia, que tiene ciertas analogías con el modo de “ver” del famoso paciente que describe Luria en “La mente de un mnemotécnico”.

    No hay duda alguna de que los Gemelos disponen de un panorama prodigioso, una especie de paisaje o de fisonomía de todo lo que han oído o visto o pensado o hecho a lo largo de su vida, y que con un pestañeo, visible desde afuera como la operación de girar los ojos y fijarlos, son capaces de recuperar y “ver” casi cualquier cosa que se encuentre en ese panorama.

   Esta capacidad de memoria es sumamente rara, pero de ningún modo única. ¿Hay entonces en los Gemelos algo que tenga un interés más hondo?”

  En este punto Sacks describe su primer contacto con los poderes “naturales” de los Gemelos.

   “Se cayó de la mesa una caja de cerillas y su contenido se esparció por el suelo. “Ciento once” gritaron ambos simultáneamente, y luego en un murmullo John dijo “Treinta y siete”. Michael repitió esto, John lo dijo por tercera vez y calló. Conté las cerillas (me llevó un rato) y había 111.

   --¿Cómo pueden contar tan de prisa? –pregunté.

   --Nosotros no contamos –dijeron-. Nosotros vimos las 111.

   --¿Y por qué murmuraron “37” y lo repitieron tres veces?

   --37, 37, 37, 111 –dijeron al unísono.

   El que viesen la “111-idad” en un relampagueo era extraordinario, pero quizá no más extraordinario que el oído absoluto de un concertista, una especie de tono absoluto  para los números. Pero luego habían descompuesto el número en tres partes iguales, sin saber siquiera lo que eran los factores, sin saber qué era multiplicar y dividir.

   --¿Cómo hicieron ustedes eso? –dije con cierta ansiedad.

   Ellos indicaron, lo mejor que pudieron, que no lo habían “hecho”, sino que lo habían visto, que el número se había disgregado frente a ellos por decisión propia, una especie de fisión numérica espontánea. Parecía sorprenderlos mi sorpresa... como si yo fuese el ciego en un cierto sentido.

   ¿Era posible que pudieran también “ver” las propiedades, no de un modo conceptual y abstracto, sino como cualidades sentidas, sensoriales, de una forma directa y concreta? Si podían ver “111-idad” de una ojeada, ¿no podrían esos poderes ver también de una ojeada (reconocer, relacionar, comparar, de un modo exclusivamente sensorial y no intelectual) constelaciones y formaciones complejísimas de números? Me recordaba el Funes de Borges: “Nosotros, de un vistazo, percibimos tres copas en una mesa; Funes todos los vástagos y racimos y frutos que comprende una parra... No sé cuántas estrellas veía en el cielo.”

   ¿Podían los Gemelos ver también quizá en su pensamiento una “parra” numérica, con todas las hojas-números, los zarcillos-números, los frutos-números que la componían?”

   Sacks describe a continuación una segunda escena reveladora, que presenció por casualidad.

   “Estaban los dos sentados en un rincón, sonrientes, una sonrisa confidencial y misteriosa, que yo no les había visto nunca, gozando de la extraña paz y el extraño placer del que parecían disfrutar. Me acerqué silenciosamente para no molestarlos. Parecían encerrados en un singular diálogo puramente numérico. John decía un número de seis cifras. Michael escuchaba el número, asentía, sonreía y parecía saborearlo. Luego él decía a su vez otro número de seis cifras y entonces era John el que lo escuchaba y lo consideraba muy detenidamente. Parecían dos entendidos en vinos, compartiendo valoraciones exóticas... Quizá se tratase de algún juego, pero había una seriedad y una concentración, una especie de profundidad serena y meditativa casi sagrada. Me limité a anotar los números que iban diciendo, que evidentemente les proporcionaban tanto gozo y que ellos “contemplaban” en comunión.”

   De regreso en su casa, Sacks verifica en uno de sus libros de matemática que su intuición sobre las cifras que había anotado era correcta: todos los números que intercambiaban los Gemelos eran números primos.  Al día siguiente decide llevar a la visita el libro.

   “Los encontré encerrados en su comunión numérica, como la vez anterior... al cabo de unos minutos decidí incorporarme al juego y aventuré un primo de ocho cifras. Hubo una larga pausa (debió durar medio minuto o más) y luego súbita y simultáneamente sonrieron los dos. Habían visto de pronto, tras un proceso interno incomprensible, que mi número de ocho cifras era un número primo... Se apartaron un poco, para dejarme sitio: un nuevo jugador, un tercero en su mundo. Después John se pasó un buen rato pensando (debieron ser lo menos cinco minutos) y luego dijo un número de nueve cifras. Michael respondió con otra cifra semejante y yo por mi parte, tras un vistazo subrepticio al libro, añadí mi propia aportación, un tanto deshonesta. Un número primo de diez cifras que busqué en el libro. Volvieron a quedarse callados, inmóviles, atónitos; y luego John, tras una prodigiosa contemplación interior formuló un número de doce cifras. Yo no tenía ningún medio de comprobarlo, porque mi libro no sobrepasaba los primos de diez cifras. Pero Michael sí, aunque debió tardar cinco minutos... Al cabo de una hora, los Gemelos estaban intercambiando primos de veinte cifras, o yo supongo al menos que eso eran, ya que no tenía ningún medio de comprobarlo. No existe ningún método simple para calcular primos de ese orden... y sin embargo los Gemelos estaban haciéndolo.

   “Yo creo”, concluye Sacks, “que los Gemelos, que tienen una sensibilidad extraordinaria para los números,  realmente los sienten en sí mismos, como “formas”, como “tonos”, como las formas multitudinarias que componen la naturaleza misma. No son calculadores y su enfoque de los números es icónico, conjuran extrañas escenas de números, habitan en ellas; vagan libremente por grandes paisajes de números. Los Gemelos, aunque retardados, oyen la sinfonía del mundo, pero la oyen enteramente en forma de números. No es sólo una “facultad” extraña, sino una sensibilidad armónica, aliada quizá con la música. Podríamos calificarla de sensibilidad “pitagórica” y lo extraño no es que exista sino que sea al parecer tan poco frecuente. Siempre se ha llamado a la matemática la reina de las ciencias y los matemáticos han considerado que el mundo está organizado, misteriosamente, por el poder del número. Los Gemelos viven exclusivamente en un mundo-pensamiento de números. Y sin embargo los números son para ellos, no sólo “cifras” sino significadores, cuyo “significando” es el mundo. No los consideran a la ligera, como hacen la mayoría de los calculistas. Son más bien contempladores serenos de los números... y los abordan con una actitud de reverencia y de sobrecogimiento. Los números son para ellos sagrados, éste es su modo de captar al Primer Compositor.”

   A continuación anota como postdata el comentario del matemático Israel Rosenfield, al ver su manuscrito:

“La capacidad para determinar los días de la semana a lo largo de un período de ochenta mil años parece apuntar a un algoritmo bastante simple. Se divide el número total de días entre “ahora” y “entonces” por siete. Si no queda resto, la fecha cae en el mismo día que ahora. Si el resto es uno, la fecha es un día después, y así sucesivamente. La aritmética modular es cíclica, consiste en pautas repetitivas. Puede que los Gemelos visualizasen esas pautas, bien en formas de gráficos de fácil construcción o de algún tipo de paisaje, como la espiral de enteros que aparece en “Concepts of modern mathematics” de Ian Stewart.

   Esto deja sin aclarar por qué los Gemelos se comunican en números primos. Pero la aritmética del calendario exige el primo siete. Si se piensa en la aritmética modular en general, la división modular da pautas cíclicas netas sólo si uno utiliza números primos. Como el número siete ayuda a los Gemelos a obtener las fechas, y en consecuencia los acontecimientos de días concretos de sus vidas, podrían buscar y reconocer en otros números pautas similares a las que son tan importantes para sus operaciones de recuerdo. Quizá sólo pueden visualizar las pautas primas... En suma, la aritmética modular les ayuda a recuperar su pasado, y en consecuencia las pautas creadas al utilizar esos cálculos (que sólo se dan en los primos) pueden adquirir para los Gemelos un significado especial.”

   Hasta aquí el relato de Sacks. La posibilidad de que los números primos puedan “verse” directamente como paisajes o formas geométricas especialmente gratas y la mención a la espiral de enteros en el libro de Stewart me hizo recordar un libro clásico de biología que consulté recientemente: On Growth and Form, de D´Arcy Thompson, que recobra la idea pitagórica (y aún más atrás, egipcia) de los “gnomons” para explicar las formas espiraladas de crecimiento en caracoles, cuernos, etc. D´Arcy Thompson recuerda la noción de “gnomon” con algunos ejemplos numéricos y geométricos.

   “Si añadimos a un cuadrado una porción en L, como la escuadra de un carpintero, la figura que resulta es otro cuadrado. La porción que se añade para obtener una figura similar a la dada se llama en griego gnomon. Euclides extiende el término para incluir el caso de cualquier paralelogramo y Hero de Alexandria define explícitamente el gnomon como la figura suplementaria que, añadida a una dada, da como resultado una figura similar. Quedan incluidos los números, considerados geométricamente. Los números pueden ser traducidos en formas, por medio de filas de puntos u otros signos, o en el patrón de un mosaico, de acuerdo con “la manera mística de Pitágoras, y la magia secreta de los números”.

   Por ejemplo, los números triangulares uno, tres, seis, diez, etc, tienen como gnomons a los números naturales. En efecto 3 – 1= 2,  6 - 3= 3,  10 – 6= 4, etc. De la misma manera, los números cuadrados tienen a los números impares como gnomons: 4 –1 =3,  9 – 4= 5,  16 – 9= 7.

   Hay otras figuras gnomónicas más curiosas: Si consideramos un rectángulo tal que los lados están en la relación 1/sq2 es obvio que al duplicarlo obtenemos una figura similar ya que 1/sq2 es igual que sq2/2. Así, cada mitad de la figura es ahora un gnomon de la otra.

   Un segundo ejemplo elegante está dado por el rectángulo cuyos lados están en la proporción “divina”, o “sección áurea”: 1/ ½ (√5 – 1) donde ½ (√5 – 1) es aproximadamente igual a 0, 618... El gnomon a este rectángulo es el cuadrado B construido en el lado más largo del rectángulo y así sucesivamente.

   D´Arcy Thompson utiliza el concepto de gnomon en la descripción del caracol Nautilius y otras formas orgánicas relacionadas al establecer su ley de crecimiento:

    “Es característico en el crecimiento de los cuernos, de los caracoles y de todas las otras formas orgánicas en los cuales pueda reconocerse una espiral equiangular que cada incremento sucesivo de crecimiento es similar y está similarmente magnificado y situado con respecto a su predecesor, y es en consecuencia un gnomon a la estructura entera preexistente. Vemos que las sucesivas cámaras del caracol Nautilius (y lo mismo ocurre con cada nuevo incremento del Operculum de un gastrópodo o del colmillo del elefante) tiene su característica principal descrita de una vez y su forma explicada por la simple proposición de que constituye un gnomon a la totalidad de la estructura previamente existente.”

 Hasta aquí D´Arcy Thompson.

   Del mismo modo que los pitagóricos concibieron geométricamente los números “triangulares” y los números “cuadrados”, la pregunta más inmediata es qué tipo de forma visual “especialmente grata” podría asociarse a los números primos. Pero quizá también, en el proceso de los Gemelos al  reconocer a un número como primo, opere un principio “gnomónico” que tenga que ver con el modo en que naturalmente, “biológicamente” se registran (o inscriben) los conceptos numéricos en el cerebro. Los gnomons (respecto a la suma) de los primeros números primos aparecen (por ejemplo) listados en el libro “Elementary Theory of Numbers”, de W. Sierpinski (1964) p.115, como tabla de diferencias entre primos sucesivos. Esta primera hipótesis “biológica”, en que los primos estén ya inscriptos de algún modo en el hemisferio derecho y puedan “leerse” visualmente parece compatible con las explicaciones que da el mismo Sacks  sobre las diferentes especializaciones de los hemisferios. Los Gemelos, con graves alteraciones en las funciones lógicas y algorítmicas correspondientes al hemisferio izquierdo, podrían todavía acceder a las formas visuales de la memoria, que corresponden al hemisferio derecho.

   Por otra parte, una observación del libro de Stewart antes citado recuerda que según el teorema de Wilson, se  tiene un test “teórico” para los números primos (impracticable desde el punto de vista computacional) que no requiere averiguar los posibles divisores: “Dado un número q, se le suma 1 al factorial de q-1 y se divide por q. El número q es primo si y sólo si el resto de esta división da cero.”

desarrollado un modo icónico o mnemotécnico de “desplegar” el factorial), de modo que al decirles un número, ellos absorben con la información de las cifras simultáneamente las cifras de su factorial. Así, procederían con cada número como lo hicieron con el 111, en una única división, esperando a que “se disgregue o no” el número “que sigue” al factorial de (q-1).

   Estas son dos hipótesis que arriesgo, probablemente equivocadas o insuficientes las dos. Quizá lo más interesante (y desesperante) en esta historia es que no parece haber modo de preguntarles a ellos, porque no pueden dar “razones”, y ni siquiera saben qué es dividir y multiplicar. Pero, ¿sólo queda observarlos, como si fueran prodigios naturales incomprensibles? ¿Cuál es la clave “inteligible”, si existe, el patrón estético oculto para nosotros, evidente para ellos, en el reconocimiento “visual” de los números primos?

   Transcribo a continuación algunos de los mensajes que recibí (pero no verifiqué la información que aportan):

Estimado Guillermo:

                                 Muchas gracias por la lectura que me regalaste esta mañana semiotoñal de São Paulo.  Mi área de actuación está lejos de la teoría numérica que apenas vislumbré casi 20 años atrás, en las clases del querido Gentile.
   Sólo me gustaría llamarte la atención respecto de lo siguiente, algo
que probablemente vos ya lo sabés.
  Cuando se dice en el comentario del matemático Israel Rosenfield: “La capacidad para determinar los días de la semana a lo largo de un período de ochenta mil años parece apuntar a un algoritmo bastante simple. Se divide el número total de días entre "ahora" y "entonces" por siete. Si no queda resto, la fecha cae en el mismo día que ahora. Si el resto es uno, la fecha es un día después, y así sucesivamente”.