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// Gödel y Lacan (Primera parte)

 

Guillermo Martínez

   Vamos a hablar brevemente de nuestro libro Gödel ∀(para todos), con un poco más de nervios de lo habitual, porque está entre el público nada menos que Gregory Chaitin, quien hizo aportes notables en la continuación de las ideas de Gödel.

 

  El teorema de Gödel trata de la diferencia o de la distancia entre lo que es verdadero en matemática y lo que es demostrable. La primera analogía que yo intentaría, para explicar de qué trata el teorema, es una que ya utilicé en alguna de mis novelas: un crimen en un cuarto cerrado con dos únicos sospechosos.

 

   Los dos sospechosos saben toda la verdad sobre el asunto, que puede resumirse en la frase “yo fui” o “yo no fui”. Pero cuando llega el juez de instrucción, si los dos dicen “yo no fui”, empieza el problema de la demostración. Hay una verdad, pero el juez, que no la conoce, tiene que proceder por un camino indirecto e intentar avanzar por recolección de huellas, verificación de coartadas, etcétera. Muchas veces ese camino indirecto no le alcanza -por las exigencias del protocolo de la justicia, por los requisitos estrictos sobre las evidencias- para llegar a la absolución o a la condena. Y el sistema legal no puede, por lo tanto, decidir sobre la cuestión de la culpabilidad y la inocencia. Hay una verdad, pero el sistema no puede alcanzarla. En Argentina, por suerte, eso no pasa. (Risas)

   Es claro entonces que en la justicia lo verdadero no necesariamente coincide con lo demostrable. Y lo mismo ocurre en otras disciplinas del conocimiento, como por ejemplo en la arqueología, donde la verdad -aunque también existió en el pasado, de alguna manera única y concreta- se nos presenta como un límite, o una hipótesis provisoria, que depende de los sucesivos hallazgos.

   Sin embargo, en la matemática, la intuición durante siglos fue que los dos términos -verdadero y demostrable- coincidían. Todo lo que era verdadero, debía admitir una demostración, en el sentido preciso que los matemáticos entienden por demostración. Una demostración es un texto en el que a partir de algunos principios o axiomas que se asumen como ciertos, se obtienen otros por medio del encadenamiento de un razonamiento lógico, que se puede chequear paso a paso, hasta llegar a la tesis que se pretende probar.

   Ejemplo: Demostración de que 1 + 1 = 2.

   (Recordar que la letra S significa “sucesor” de un número. Por ejemplo, S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, etc.)

 

Demostración:

Axioma: Cualquiera sea el número x, vale que x + 0 = x

En particular, si x = 1, vale que 1 + 0 = 1

Axioma: Cualesquiera sean los números x e y, vale que

             x + S(y) = S(x + y)

En particular, si x = 1 e y = 0, vale que 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1)

Entonces 1 + S(0) = S(1)

Pero S(0) = 1 y S(1) = 2

Por lo tanto, 1 + 1 = 2

                                q.e.d

 

Diap: Demostración de que 1 + 1 = 2.

 

  Las demostraciones en matemática, a pesar de lo que suele creer quizá la gente, requieren mucho de invención y de imaginación. Aquí se ve a la demostración tal como debe enfrentarla un matemático que debe obtenerla por sí mismo, por primera vez. La demostración como un camino a encontrar en un laberinto de bifurcaciones.

 

   El matemático estaría allí arriba, y tiene que encontrar el camino desde las hipótesis de partida a la tesis a la que pretende llegar entre múltiples bifurcaciones lógicas. Una vez que encuentra ese recorrido puede escribir su texto, donde todo parecerá natural y evidente: los que vienen a continuación sólo tendrán que seguir los pasos marcados. En esa búsqueda -que Andrew Wiles[1] describió también como el tanteo en una habitación en principio a oscuras, que se va iluminando de a poco- hay un momento de inspiración, que es el que corresponde a saber decidir, en cada una de las bifurcaciones, por dónde avanzar. De manera que hay en la matemática un momento de inspiración, de creación. Un momento incluso elitista, en que el matemático, a solas con sus ideas y con los objetos con los que se familiarizó durante muchos años, percibe una verdad. Y el momento democrático en el que expone esa verdad a través de un texto que pueda ser chequeado en todo detalle por cualquiera. Ese “cualquiera” debe ser, en sentido estricto, cualquiera, no necesariamente alguien con un saber matemático elevado, y creo yo que una de las razones por la que la matemática avanzó tanto en profundidad con respecto a otras disciplinas es por esta combinación de genio y penetración en la aprehensión del conocimiento y de absoluta claridad en la exposición posterior de ese conocimiento. Insisto en esto: al exponerse una demostración, si se lo hace con suficiente detalle, cualquiera, aún sin tener conocimientos matemáticos, puede corroborar de una manera mecánica, por el chequeo paso por paso de ligaduras lógicas, si la demostración es correcta.

 

   Dijimos que hasta el siglo XIX había una intuición predominante entre los matemáticos de que en su disciplina lo verdadero y lo demostrable coincidían. Y de que para cada verdad matemática habría una demostración a partir de axiomas que la sustentara.

   Pero a principios del siglo XX aparecieron algunos problemas en el terreno de los fundamentos de la matemática. Quizá el más conocido sea la paradoja que descubrió Russell. Se había pensado en fundamentar la matemática a través de la teoría de conjuntos, y definir todos los conceptos matemáticos a partir de conjuntos, pero Bertrand Russell encontró una paradoja, que mostraba que había que tener mucho cuidado en la manera de definir los conjuntos para no llegar a contradicciones.

 

La Paradoja de Russell

Los conjuntos, por lo general, no son elementos de sí mismos: el conjunto de todos los números no es en sí mismo un número, el conjunto de todos los alumnos de una clase no es en sí mismo un alumno de la clase. Sin embargo, pueden concebirse conjuntos que son elementos de sí mismos: el conjunto de los conceptos es en sí mismo un concepto. El conjunto de todos los conjuntos es en sí mismo un conjunto.

Así, puede concebirse también el conjunto S de los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

 

S = {X tal que X no pertenece a X}.

 

Ahora bien: ¿S pertenece a S?

Si S pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto, S no pertenece a S.

Si S no pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto S pertenece a S.

Tenemos así que tanto la pertenencia como la no pertenencia de S a sí mismo nos lleva a una contradicción.

Esta paradoja fue popularizada por el mismo Russell como la paradoja del barbero: Un barbero de cierto pueblo afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos.

¿Debe el barbero afeitarse a sí mismo?

       Diap: La paradoja de Russell.

 

   Entonces, en ese momento de crisis, Bertrand Russell por un lado y David Hilbert por el otro, se propusieron refundar toda la matemática en base a la teoría más familiar, e históricamente más probada, la teoría más elemental, que es la aritmética: los números que usamos para contar con las operaciones de suma y multiplicación, tal como se nos enseña en la primaria. A esta teoría se la llama aritmética elemental.

   David Hilbert siempre queda mal parado en las historias sobre el teorema de Gödel. Sin embargo, él fue uno de los primeros que percibió las dificultades y los problemas de desarrollar una teoría de la demostración “bajo control”. David Hilbert se proponía, frente a la crisis en los fundamentos, hacer una teoría de la demostración segura, libre de paradojas, en la que sólo se procediera por enunciados cuya verdad se pudiera comprobar en una cantidad finita de pasos, mecánicamente, y que tuviera también incorporada, como parte de las reglas de juego, el marco lógico, la enunciación explícita de los principios lógicos y el protocolo que rige el razonamiento matemático.  

   O sea, no solamente los axiomas de contenido matemático, sino también la lógica que usa un matemático puesto a trabajar. Esa lógica es común a todas las teorías. Es la lógica matemática. Y está dada por una serie de axiomas y unas reglas de inferencia que permiten pasar de una línea de la demostración a la siguiente con ciertas prescripciones.

 

   Estos dispositivos formales concebidos por Hilbert son los que se llaman los “sistemas axiomáticos”. Un sistema axiomático es un conjunto prefijado y bien determinado de primeros principios para cada teoría y un marco lógico común que nos dice cómo proceder a demostrar afirmaciones, o enunciados, a partir de esos axiomas.

   Algo interesante sobre Gödel, y que no es tan conocido, es que Gödel probó en su vida, además de su famoso teorema de incompletitud, también un teorema de completitud. Éste fue en realidad su primer teorema importante, su tesis doctoral. El teorema de completitud que probó Gödel dice que estos diez axiomas del cuadro describen perfectamente la maquinaria lógica, y son suficientes para probar todas las verdades que son puramente lógicas. Por eso se llama teorema de completitud. Porque a partir de estos axiomas, y utilizando las dos reglas de inferencia, se pueden obtener vía demostraciones todas las verdades puramente lógicas. En la demostración de este teorema, durante su tesis doctoral, él ya percibió una serie de dificultades, aún cuando no estaba utilizando funciones ni relaciones matemáticas, sino sólo la estructura más descarnada, puramente lógica. Entonces se le ocurrió por primera vez la posibilidad de que para otras teorías, con alguna complejidad matemática, ya no hubiera completitud. Es decir, concibió por primera vez la posibilidad de que existieran teorías matemáticas que no pudieran ser axiomatizadas de esta manera, a partir de unos pocos “primeros principios”.

 

   En paralelo, y sin conocer estas primeras sospechas de Gödel, Hilbert se proponía un programa para reobtener todo el edificio de la matemática a partir de sistemas de axiomas infalibles, libres de paradojas o contradicciones, por medio de su teoría “segura” de la demostración. Su idea era proceder por “reducciones” sucesivas hasta basar toda la matemática en la aritmética elemental. Ya se había probado que la geometría, por ejemplo, se podía reducir a sistemas de ecuaciones de números complejos. Pero a su vez los números complejos se pueden obtener, por extensiones sucesivas, a partir de los números naturales, y, en definitiva, de la aritmética elemental. Entonces lo que Hilbert se proponía era dar una axiomatización completa para la aritmética elemental. De esa manera estaría dando un fundamento axiomático para toda la matemática.    Y se proponía, como coronación de su programa, probar que la aritmética elemental era consistente, es decir, libre de paradojas o contradicciones como las que habían aparecido en la teoría de conjuntos. Ese era esencialmente el programa formalista de Hilbert: fundamentar toda la matemática en la aritmética elemental, dar un sistema de axiomas completo para la aritmética y probar que ese sistema era consistente, es decir, libre de contradicciones.

 

   ¿Cómo sería un sistema axiomático para la aritmética? ¿Qué aspecto tendría?

   Uno de los posibles sistemas axiomáticos para la aritmética es éste que puede verse aquí.

 

Aritmética de primer orden de Peano

(Como ya dijimos, la letra S indica la función sucesor, que a cada n le asigna su sucesor inmediato n + 1.)

 

(1) 0 ≠ Sx                                              Axiomas de la función sucesor

(2) Sx = Sy → x = y

 

 

(3) x + 0 = x                                          Axiomas para la suma

(4) x + Sy = S (x + y)                

 

 

(5) x · 0 = 0                                           Axiomas para el producto

(6) x · Sy = (x · y) + x

 

(7) Axioma de inducción:

Para cada propiedad P dada por una fórmula[2] P(x), si vale P en 0, y para cada número x, si vale P en x vale también P en el sucesor de x, entonces vale P(x) para todos los números.

 

Diap: Un sistema axiomático para la aritmética.

La aritmética del primer orden de Peano.

 

   Tenemos, como siempre, el marco lógico que ya habíamos visto en la diapositiva anterior, y aquí se dan los axiomas para la función sucesor (que consiste en sumar 1), para la suma, y para el producto. Finalmente, en el último axioma, los matemáticos reconocerán el llamado Principio de inducción. Dice que si una propiedad dada por una fórmula se cumple en 0, y cada vez que se cumple en un número x, se cumple en el número siguiente de x, (x+1), entonces se tiene que cumplir en todos los números[3].

 

   Aquí volvemos por un instante a la literatura, y a una frase de Borges en “Avatares de la tortuga”.

 

   “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito.”

Diap.

 

   Y, casi como una respuesta, como si recogiera el desafío, una frase de Hilbert, en “Acerca del infinito”

 

    “La elucidación definitiva de la naturaleza del infinito es algo que va mucho más allá del ámbito de los intereses científicos particulares, algo que, en realidad, se ha convertido en una cuestión de honor para el entendimiento humano.”  

Diap.

 

   En verdad, y aunque sea difícil explicarlo aquí, lo que está detrás del teorema de Gödel es la dificultad de tratar con el infinito como una totalidad. Los matemáticos, históricamente, habían manejado bien y durante mucho tiempo la idea del infinito potencial, el infinito como un conjunto que puede ser aumentado tanto como se quiera. Pero con Cantor, a partir de 1870, se introduce el infinito actual. Es decir, el infinito pensado como un conjunto “todo a la vez”. Y esto trae varios problemas. Por eso digo que debe reivindicarse en esta historia a Hilbert, quien fue uno de los primeros que advirtió que los mismos riesgos y problemas que habían aparecido en el campo del análisis al considerar sumas y productos infinitos, podían surgir en las demostraciones al utilizar los conceptos de “para todo” y “existe” aplicados a totalidades infinitas, si no se tomaban las debidas precauciones. Y esta es la cuestión en el fondo. Cuando pensamos en la definición de verdad decimos que una afirmación E(x) es verdadera si y sólo si son verdaderas todas las afirmaciones E(1), E(2), E(3), etc… De modo que la definición de verdad implica una totalidad infinita, la de todos los números naturales.

  Sin embargo, aún si uno sabe cómo hacer la demostración para el caso E(1), cómo hacer la demostración para E(2) y cómo hacer la demostración para E(n), cualquiera sea el número n, esa cantidad infinita de premisas no permite inferir en general que habrá también una demostración del enunciado “Para todo x, vale E(x)”.[4] Esta posibilidad ya la había advertido Hilbert, y por eso se planteaba una teoría de la demostración que procediera de manera “segura” en el tratamiento del infinito. Aún así, Hilbert tenía confianza de que su programa podía ser llevado a cabo.

 

   Pero entonces, en 1931, Gödel presenta su famoso teorema de incompletitud. Hay un relato que reproducimos en nuestro libro, muy interesante, sobre la sesión en el congreso de matemática en que Gödel anuncia por primera vez su teorema. Había en ese momento una disputa muy fuerte entre intuicionistas y formalistas. Parte del programa de Hilbert era mostrar que cualquier enunciado que fuera probado por métodos cualesquiera (finitistas o no) luego podría ser reproducido en base a su teoría de la demostración finitista. Hilbert expone sobre esta posibilidad de reconciliación entre las dos posiciones y Gödel lo interrumpe con un comentario tímido, para decir que él cree que eso no será posible. Después de que termina la sesión comenta con Hilbert y otros la idea que está detrás de su teorema. En realidad lo que él prueba finalmente en su teorema de incompletitud es que:

 

Teorema de incompletitud de Gödel (1931)

   Cualquier sistema axiomático que se proponga para la aritmética, si es consistente, tendrá enunciados indecidibles (es decir, enunciados que no pueden ser demostrados ni refutados por el sistema). Más aún, si los axiomas del sistema se eligen entre los enunciados verdaderos de la aritmética, se puede encontrar un enunciado que es verdadero pero no es demostrable (para ese sistema).

 

Continúa en Gödel y Lacan (Segunda parte)