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// Gödel y Lacan (Segunda parte)

   De manera que se replica aquí, dentro de la aritmética elemental, la misma situación que vimos con la justicia y los dos sospechosos. El protocolo estricto de Hilbert sobre la manera en que deben seleccionarse los axiomas, el requerimiento de que la verdad de esos axiomas sea corroborable en una cantidad finita de pasos, la idea, en fin, de una teoría de la demostración a prueba de balas, termina por encontrar su límite y no logra probar toda la verdad de la aritmética. La aritmética como teoría es esencialmente incompleta, y de esta manera el teorema de Gödel destruye una por una todas esperanzas de Hilbert. En primer lugar, muestra que hay enunciados de la aritmética cuya validez no puede decidirse en base a los enunciados finitistas. Es decir, no hay posibilidad de dar una lista exhaustiva de axiomas para la aritmética que permita obtener, vía demostraciones, todos los enunciados verdaderos. Aún peor, uno de los enunciados no demostrables dentro del sistema es justamente la propiedad de consistencia de la aritmética. Recuerden que Hilbert quería fundar toda la matemática a partir de la aritmética. Para eso necesitaba una prueba de consistencia absoluta. Ya no podía ir más atrás porque ése era el sistema fundante, la primera piedra. Pero una consecuencia del teorema de Gödel, que se conoce con el nombre de Segundo teorema de Gödel, o Teorema de consistencia, dice que la consistencia del sistema es uno de los enunciados que no puede demostrarse dentro del sistema. Finalmente, como una última ironía, la demostración dada por Gödel para su teorema sí es finitista, “segura”, y cumple todos los requisitos formales. Es una de las demostraciones que quería Hilbert. O sea, el teorema de Gödel sí es tan verificable e imbatible como 1 + 1 = 2. La demostración es, además, una demostración constructiva. Gödel proporciona un método que es como una receta: para cada sistema axiomático que se proponga para la aritmética, su método indica cómo “construir” paso a paso el enunciado indecidible, que queda “fuera del alcance” y no puede ser ni demostrado ni refutado por ese sistema.

 

   Esto significa, en particular, que no pueden elegirse axiomas y escribir una lista cada vez más larga con la esperanza de obtener todas las verdades de la aritmética a partir de la lista. Alguien podría decir: bueno, pero si Gödel muestra que hay un enunciado que no es demostrable a partir, por ejemplo, de la aritmética de Peano, añadimos ese enunciado como nuevo axioma al sistema y lo “completamos”. No: si añadimos ese enunciado como nuevo axioma, tenemos un nuevo sistema axiomático y para ese nuevo sistema el mismo procedimiento genera otro enunciado indecidible. Por eso se dice que la aritmética es esencialmente incompleta: no hay modo de completarla por más que extendamos por añadidos sucesivos la lista de axiomas. Hay una distancia insalvable entre la verdad y lo demostrable.

   Sin embargo, hay dentro de la matemática otras teorías perfectamente legítimas, útiles, conocidas, etcétera, que sí son completas.    

   Por ejemplo la teoría de los números complejos:

 

La teoría de primer orden de los números complejos

 

   Recordemos que los números complejos pueden pensarse como expresiones del tipo a + bi, donde a y b son números reales, e i es la llamada unidad imaginaria, con la propiedad

i² = –1.

   La suma de dos números complejos está dada del siguiente modo:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

 

El producto de dos números complejos está dada del siguiente modo:

(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i

 

   Sea L = {+, ·, 0, 1} donde + y · son símbolos de funciones binarias y 0 y 1 símbolos de constantes. Consideremos la siguiente lista de enunciados:

 

(1) x + (y + z) = (x + y) + z           (asociatividad de +)

(2) x + 0 = x ∧ 0 + x = x             (existencia de elemento neutro para +)

(3) ∃y(x + y = 0 ∧ y + x = 0)     (existencia de elemento inverso para +)

(4) x + y = y + x                           (conmutatividad de +)

(5) 1 · x = x ∧ x · 1 = x               (1 es una unidad para el producto)

(6) x · (y · z) = (x · y)· z                (asociatividad de ·)

(7) x · y = y · x                              (conmutatividad de ·)

(8) x · (y + z) = (x · y) + (x · z)      (distributividad de · sobre +)

(9) x · y = 0 → (x = 0 ∨ y = 0)    (no hay divisores de 0)

(10) x ≠ 0 →∃y (y · x = 1)          (existencia de elemento inverso para ·)

 

(11_n) n1 ≠ 0                      (una lista infinita de axiomas: 1 ≠ 0; 1 + 1 ≠ 0; etc.)

 

(12_n) ∃y (x_n · yⁿ + x_n–1 · y^n–1 + … + x₁· y + x₀= 0) ∨ x_n = 0

 

(12_n) es en realidad también una lista infinita de axiomas, que expresa el hecho de que todo polinomio tiene raíz.

 

Diap: Axiomatización completa de los números complejos.

 

   Este ejemplo me parece que es conceptualmente muy importante para evitar una gran cantidad de errores en la propagación del teorema de Gödel, y en su divulgación fuera de la matemática. Estos axiomas que listamos aquí alcanzan para demostrar todos los enunciados que son verdaderos en el cuerpo de los números complejos. Es decir, los dos fenómenos: completitud e incompletitud, conviven y se manifiestan en la matemática.    Hay muchas otras teorías, que tienen relevancia en matemática y son también completas.[1] Los dos mundos coexisten, por decirlo de algún modo.

  

   Y ahora vayamos a Lacan. Parte de nuestro libro es discutir algunos de los intentos de aplicación del teorema, o de las invocaciones a Gödel fuera de la matemática. El teorema de Gödel despertó mucha atención en disciplinas sociales ajenas a la matemática porque en el fondo toda disciplina del conocimiento, de una manera implícita o explícita, asume ciertas primeras verdades, ciertos principios, ciertos postulados. Tenemos las “20 verdades peronistas”, tenemos el axioma del materialismo que asegura que existe primero la materia y la conciencia sería una organización superior de la materia. Tenemos los axiomas del psicoanálisis freudiano: Existe el inconsciente y el complejo de Edipo y la tríada del yo, el superyó y el ello. Cada disciplina tiene sus primeras verdades y también, una vez que están fijadas esas verdades, hay algo que es como un aire de familia en los discursos que se generan a partir de ellas. Y que es lo que permite en el fondo discutir. Ese aire de familia es que todas proceden por argumentos lógicos, por argumentación lógica. Si uno lee los diálogos Platónicos se ve que más allá de los distintos principios que sustenta cada uno de los diferentes contendientes hay una lógica común y por eso pueden pensarse las distintas disciplinas como sistemas formales, o sistemas que podrían formalizarse, con ciertos principios y un aparato argumental, de manera similar a este esquema que hemos dado de axiomas y reglas de inferencia en la matemática. De manera que el teorema de Gödel susurra y dice algo para todas las disciplinas. Cuidado, les dice, revisen sus fundamentos. En nuestro libro nosotros analizamos y discutimos intentos de aplicación del teorema de Gödel en la semiología, con Julia Kristeva, en la filosofía con el libro de Deleuze y Guattari, “Qué es la filosofía”. En el discurso post moderno, con Lyotard, en la política, con Régis Debray y en el psicoanálisis con una analogía que da Lacan. Lacan, en particular, utiliza recurrentemente el teorema de Gödel en sus seminarios. Incluso para su definición de lo real hace alusión al teorema de Gödel, y en el Seminario 19, Clase VI (El saber del psicoanalista) invoca una analogía que nosotros resumimos en este cuadro:

 

La analogía de Lacan

 

   La experiencia del análisis instaura un discurso que podría articularse con una estructura lógica.

 

   Tal como sucede en la aritmética, la textura lógica de ese discurso tiene “fallas” o “aberturas”.

 

  Dentro de la analogía, en esas aberturas está “lo que puede salir del lenguaje” y se corresponderían con los enunciados indecidibles de la aritmética.

 

   Esas “fallas” o “aberturas” lógicas deben ser privilegiadas por los analistas. Allí estaría el “modelo de lo que debe interesar a los analistas”, “lo que entrega la exploración del inconsciente”.

Diap.

 

   Y sobre todo, y por eso en nuestro libro nos detuvimos en particular en este ejemplo, Lacan infiere de aquí una consecuencia metodológica, una guía de acción para los psicoanalistas que están analizando personas concretas:

 

   “Ese real debe ser privilegiado por nosotros. ¿Por nosotros quienes? Los analistas. Pues da de una manera ejemplar, es el paradigma de lo que pone en cuestión lo que puede salir del lenguaje. […] Propongo, al interesarnos en ese real, en tanto se afirma por la interrogación lógica del lenguaje, propongo encontrar allí el modelo de lo que nos interesa, a saber, de lo que entrega la exploración del inconsciente...”

 

   Así, en lo que puede salir del lenguaje estaría lo más interesante de la exploración, aquello a lo que debe prestar sobre todo atención el psicoanalista en su práctica. Esos serían los momentos de epifanía psicoanalítica.

   Sin ánimos de impugnar o decidir si será correcto en la práctica psicoanalítica lo que propone Lacan, nosotros tenemos una serie de objeciones, una observación metodológica sobre las precauciones que hay que tener al invocar esta clase de analogías.

 

Primera objeción

Es posible que la exploración del inconsciente permita cierta estructuración lógica parcial. Pero esa estructura lógica, ¿tendrá algo que ver con la lógica binaria y estricta de la matemática, que tiene como uno de los principios al tercero excluido?

 

Segunda objeción

La experiencia del análisis se lleva a cabo en un lenguaje que está hecho del deslizamiento de la significación y, lo dice el mismo Lacan, es lo más alejado posible del lenguaje matemático formal. Este lenguaje, lo dice también Lacan, se manifiesta a través de ambigüedades, equívocos, silencios, rodeos, alusiones, vacilaciones. Es un lenguaje que tiene muy poco que ver con el lenguaje estrictamente formal, inequívoco, construido como un objeto matemático muy preciso que definen Hilbert y compañía, justamente para eliminar toda ambigüedad. Son extremos opuestos. ¿Por qué deberían luego dar lugar a comportamientos similares?

 

Tercera Objeción

¿Por qué Lacan prefiere, cuando va a buscar su ejemplo dentro de la matemática, el sistema de la aritmética como modelo para su analogía y no alguna de las muchas teorías completas que hay en la matemática, por ejemplo la teoría de los complejos? Y decimos incluso, ¿no sería más razonable, para modelar un discurso que es parcialmente lógico, que admite la negación, la disyunción, la implicación, pensar en estructuras matemáticas que representen operaciones lógicas, como las álgebras de Boole? ¿Por qué se parecería el discurso del inconsciente a la aritmética con la suma y la multiplicación? A nosotros nos parece muy extraña esta elección para su analogía.

 

Cuarta objeción

Y a partir de esta objeción aparece otra. ¿Cómo saber si el inconsciente de todas las personas se va a expresar con la misma clase de estructura lógica que permita esa analogía con la aritmética? Quizá distintos traumas, distintas obsesiones, distintas capacidades de expresión, den lugar a simulaciones con estructuras lógicas diferentes.

 

Quinta objeción

Aceptemos igualmente que todo esto fuera posible. Llegamos al punto quizá más delicado: no sólo Lacan tropieza aquí, sino también dentro de la matemática se ha tropezado con esta cuestión. El teorema de Gödel  tiene la forma de una implicación, de un condicional del tipo: Si P entonces Q. Lo que dice es que

  

   “Si el sistema para la aritmética es consistente, entonces habrá un enunciado indecidible.”

 

   Si el sistema no es consistente, todo es demostrable y todo es refutable, ya no hay modo de discriminar. O sea, la consistencia (que el sistema no dé lugar a contradicciones) es una condición escondida y asumida a priori en todo esto que estamos hablando.

 

Consistencia → Incomplitud

   De manera que, para que tenga algún sentido la analogía que intenta Lacan, debería poder presumirse la consistencia del discurso obtenido en el análisis, como se presume la consistencia de la aritmética, con una evidencia fundada de miles de años de civilización y de manipulación con los números naturales. Pero bueno, ¿alguien puede presumir que un discurso obtenido durante la experiencia del psicoanálisis no tendrá contradicciones y será un sistema consistente?

 

Sexta objeción

Imaginemos que se pudieran superar todas las demás objeciones. Todavía hay un detalle que a nosotros nos inquieta. Y es que Lacan parece creer que lo indecidible es algo especialmente valioso, raro, casi místico, en un más allá del lenguaje, y que sería como la epifanía que el esforzado psicoanalista debe intentar de elucidar. Sin embargo, lo indecidible no tiene ese aura en la matemática. Para los matemáticos que estén en la sala, si uno considera, por ejemplo, la teoría del orden total,[2] el enunciado que dice “el orden es denso” es indecidible para esa teoría, simplemente porque hay ejemplos de órdenes totales donde tengo densidad (los números racionales) y hay ejemplos donde no la tengo (los números enteros). Entonces la propiedad de densidad no puede ni demostrarse ni refutarse a partir de los axiomas del orden total.

   Lo indecidible depende del alcance y extensión de los axiomas, no tiene por sí mismo, en principio, un valor especial. Pero Lacan sí parece creer que lo verdaderamente importante aparecerá a través de estas “fallas”. Más aún, en la matemática ocurre más bien el caso opuesto: para enunciados que sí son significativos, y cruciales desde el punto de vista matemático, pero que son muy difíciles de probar, finalmente se encuentra, o bien una demostración, o bien un contraejemplo, como ocurrió por ejemplo con la famosa conjetura de Fermat. Y enunciados que son indecidibles a veces no tienen ninguna significación matemática. De hecho los matemáticos siguen su curso y su trabajo sin prestar demasiada atención al teorema de Gödel. No es que estén en un limbo de indecisión desde que se probó el teorema de Gödel. Es decir, no hay en principio una vinculación entre lo indecidible y lo significativo, o lo verdaderamente importante.

 

Completitud versus incompletitud

 

   Ya hemos dicho, y lo repetimos una vez más, que los dos fenómenos, la completitud y la incompletitud, conviven en la matemática. Nuestro libro empezó a partir de una pregunta que, nos parece, es bastante natural. Con Gustavo nos preguntamos si sería posible detectar e identificar los ingredientes matemáticos que dividen aguas entre aquellas teorías que sí pueden ser completadas, como los números complejos, y teorías esencialmente incompletas, como la aritmética. ¿Qué tiene que haber en un objeto matemático para que su teoría sea completa, o bien para que su teoría sea esencialmente incompleta? ¿Cómo se detecta, desde la matemática, esa diferencia? ¿Hay una manera de vislumbrar eso?

   Lo que encontramos finalmente es una respuesta parcial: la condición matemática “mínima” para poner en funcionamiento la demostración original de Gödel. Esa condición tiene una sencillez extrema, y que a nosotros nos parece muy elegante:

 

El objeto tiene que tener operaciones algebraicas que permitan traducir la operación de concatenación del lenguaje.

  

   La concatenación, en el lenguaje, no es más que la yuxtaposición de letras o palabras, una a continuación de la otra. Por ejemplo, la concatenación de la expresión “sal” con la expresión “as”, es la expresión “salas”.

   Si uno encuentra una operación de ese tipo en el objeto matemático, entonces puede desarrollar el teorema de Gödel. ¿Y qué ocurre en la aritmética? Justamente, que en la aritmética también sabemos cómo concatenar. El 35 concatenado con el 698 es el 35698.

   En definitiva, ¿por qué la aritmética es incompleta? ¿Cuál es el elemento matemático que está escondido detrás del fenómeno de incompletitud?

 

El hecho de que esa concatenación de cifras se pueda hacer con la multiplicación y con la suma.

 

   Solamente con la suma no se podría hacer. Y, de hecho, la aritmética que prescinde de la multiplicación es una teoría completa. Pero si uno tiene la multiplicación y la suma, la concatenación se obtiene “corriendo” con la multiplicación suficientes lugares, tantos como precise la segunda cifra y después se suma la segunda cifra para “pegarla” a continuación de la primera. En nuestro ejemplo, se multiplica al 35 por 1000 para correr tres lugares y luego se suma 698.

   Esta es la idea que encontramos y nos pareció una idea tan simple, tan elemental, que nos dieron ganas de contarla para todo público, para todos los públicos. Y en vez de escribir Gödel para algunos lógicos matemáticos, decidimos escribir Gödel ∀(para todos).

 

 

 

Preguntas del público

 

Pregunta: Yo tengo en realidad dos preguntas. Una es qué opinan de la broma de Sokal. La famosa broma de Sokal sobre Lacan y las ciencias sociales.

 

GM: En el libro hay todo un capítulo en que discutimos los intentos de extrapolación del teorema de Gödel a otras disciplinas. Y la base en esa discusión es justamente el libro de Sokal y Bricmont, y el libro de Jacques Bouveresse “Prodigios y vértigos de la analogía”. Pero en Sokal y Bricmont ellos no hacen hincapié particular en el teorema de Gödel, sino en muchos otros errores matemáticos que se han cometido en distintas extrapolaciones. Entonces nosotros rastreamos, por nuestra cuenta, por ejemplo en el caso de Lacan, en qué puntos de los seminarios aparece el teorema de Gödel, cómo lo utiliza. Y hacemos sobre Lacan una discusión propia. No queremos hacer responsables a Sokal y Bricmont de lo que decimos en ese capítulo. Compartimos, por supuesto, muchas de las críticas que ellos hacen. Pero tenemos una conclusión un poco más optimista. Al leer la crítica de ellos queda la sensación de que quizá no haya nada que la gente de las ciencias sociales pueda encontrar de este lado matemático, que no les conviene ni siquiera asomarse, porque no van a entender nada, y van a utilizar fatalmente los conceptos de una manera incorrecta. Y nosotros, por el contrario, intentamos en nuestro libro una exposición lo más hospitalaria posible de estos resultados, con la esperanza de que todos conozcan algo de estas ideas, porque creemos que son ideas que contribuyen al conocimiento de una forma general. Quisiéramos que gente de otras disciplinas lo tomen como lectura, que futuras analogías sean más precisas y puedan seguir dando inspiración en otros ámbitos. Incluso, a diferencia de ellos, que son muy críticos con las ideas de Lyotard respecto a la física, nosotros rescatamos una exposición de Lyotard sobre el teorema de Gödel, y su vinculación con los juegos de lenguaje de Wittgenstein, que nos parece bastante acertada.  

 

Pregunta: La segunda pregunta es más técnica. Me perdí un poco cuando decís que los números complejos es una teoría completa. ¿Yo no puedo considerar una afirmación sobre un número natural y decir: bueno, lo pienso como la parte real del número complejo, y hago una afirmación, y entonces, no sería también completa esa teoría?

 

GM: Muy buena pregunta, excelente pregunta. Ese es justamente una especie de aparente dilema que está planteado en el libro, en uno de los primeros capítulos. Es verdad que uno puede reencontrar, dentro de los números complejos, a los números naturales. Uno tiene la unidad 1, y basta sumar, con la suma uno va encontrando los números naturales, y después, restringiendo la suma y el producto de los números complejos a los naturales, se tiene la suma y la multiplicación usual de los números naturales. De manera que están allí los números naturales, con la suma y la multiplicación. ¿Por qué entonces esta teoría de los números complejos es completa, cuando la aritmética es incompleta?

   Lo que ocurre es que dentro de los números complejos no se puede definir “ser número natural”. La propiedad “ser número natural” equivaldría a decir ser 1, o 1+1 o 1+1+1 o … Y esto es algo que no puede definirse a través de un enunciado, porque involucra una disyunción infinita. Eso es lo que separa las dos teorías. Y ahí reside la cuestión de la completitud versus la incompletitud. Si uno pudiera definir la propiedad “ser un número natural” dentro de los complejos, podría reproducir inmediatamente el teorema de Gödel. Y tendríamos que la incompletitud se trasladaría a los números complejos. Es muy sutil y muy delicada la diferencia: esto muestra también la gran dificultad y los riesgos de extrapolar el teorema de Gödel fuera de la matemática. Y nos devuelve a la cuestión de la analogía de Lacan: ¿por qué preferir la aritmética elemental en contra de los números complejos? Tendría que haber una argumentación propia dentro de la teoría psicoanalítica que pudiera explicar por qué los números naturales serían más apropiados para la analogía que los números complejos. Porque si uno elije para la analogía los números complejos, todo es completo, nada se sale del lenguaje, la recomendación de Lacan no tienen ningún sentido. Esto es lo que queremos sobre todo señalar en el caso de Lacan: que su analogía está sustentada en un modelo que le resulta conveniente a priori para lo que quiere afirmar, pero no puede encontrarse ningún indicio en su argumentación de porqué ese modelo se ajustaría mejor a la exploración del inconsciente que, por ejemplo, los números complejos, o cualquier otra teoría completa.